تكاملات الدوال الأسية واللوغاريتمية والعكسية المثلثية
بعض التكاملات تتكرر كثيرًا: الأسية، اللوغاريتمية، والعكسية المثلثية.
الفكرة الرياضية الأساسية
الدالة الأسية e^x تكاملها نفسها، أما اللوغاريتم غالبًا يحتاج الأجزاء.
القوانين والعلاقات المستخدمة
- \(\int e^{ax}dx=\frac{1}{a}e^{ax}+C\)
- \(\int \ln x dx=x\ln x-x+C\)
- \(\int \tan^{-1}x dx=x\tan^{-1}x-\frac{1}{2}\ln(1+x^2)+C\).
مثال محلول خطوة بخطوة
\(\int e^{1/x}/x^2 dx=-e^{1/x}+C\).
طريقة الحل في الاختبار
- اقرأ نص السؤال وحدد المطلوب بدقة.
- استخرج المعطيات والأعداد والرموز المهمة.
- اختر القانون أو القاعدة المناسبة.
- نفذ الحل خطوة بخطوة.
- راجع الناتج والوحدة أو الزوج المرتب إن وجد.
أخطاء شائعة يجب الانتباه لها
- استخدام قانون قريب من الموضوع لكنه لا يناسب المطلوب.
- تجاهل الإشارات أو الوحدات أو ترتيب المتغيرات.
- اختيار الإجابة قبل التحقق من منطق الناتج.
تدريب قصير مع جواب
\(\int \tan(2x)dx=-\frac{1}{2}\ln|\cos(2x)|+C\).
خلاصة مركزة
الطريقة الصحيحة في هذا النوع من الأسئلة تبدأ بفهم المطلوب، ثم اختيار القانون المناسب، ثم تنفيذ الحساب ومراجعة منطق الناتج. لا تحفظ القانون وحده؛ اربطه دائمًا بمعناه وبشكل السؤال.