متطابقات الزوايا المتممة في الدوال المثلثية
الزاويتان المتتمتان هما زاويتان مجموعهما \(90^\circ\)، أو \(\frac{\pi}{2}\) بالراديان. في المثلثات والدوال المثلثية تظهر علاقات مهمة بين الجيب وجيب التمام عند استخدام الزاوية المتممة.
الفكرة الأساسية
جيب تمام متممة الزاوية يساوي جيب الزاوية نفسها، وجيب متممة الزاوية يساوي جيب تمام الزاوية. لذلك: \(\cos\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)=\sin(\theta)\)، و \(\sin\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)=\cos(\theta)\).
لماذا يحدث ذلك؟
في المثلث القائم، الزاويتان الحادتان متتمتان. الضلع المقابل لإحدى الزاويتين يكون مجاورًا للزاوية الأخرى. لذلك تتبادل نسب الجيب وجيب التمام أدوارها عند الانتقال من زاوية إلى متممتها.
مثال محلول
ما التعبير المكافئ لـ \(\cos\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)\)؟
نستخدم متطابقة الزوايا المتممة: \(\cos\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)=\sin(\theta)\).
إذن التعبير المكافئ هو: \(\sin(\theta)\).
أمثلة إضافية
- \(\sin(90^\circ-x)=\cos(x)\)
- \(\cos(90^\circ-x)=\sin(x)\)
- \(\tan(90^\circ-x)=\cot(x)\)
طريقة الحل في الاختبار
عندما ترى تعبيرًا فيه \(\frac{\pi}{2}-\theta\) أو \(90^\circ-x\)، فكر فورًا في الزاوية المتممة. ثم بدّل الدالة إلى الدالة المرافقة لها: الجيب مع جيب التمام، والظل مع ظل التمام.
خطأ شائع
الخطأ الأشهر هو التعامل مع \(\cos\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)\) على أنه \(\cos\theta\). هذا غير صحيح؛ وجود \(\frac{\pi}{2}-\theta\) يعني أننا أمام زاوية متممة، فتتغير الدالة إلى الدالة المرافقة.
تدريب سريع
بسط: \(\sin\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)\).
الحل: \(\cos(\theta)\).