الكسور الجزئية قبل التكامل
الكسور الجزئية طريقة لتحويل كسر جبري معقد إلى مجموع كسور أبسط. تظهر هذه المهارة كثيرًا قبل التكامل؛ لأن تكامل الكسور البسيطة أسهل بكثير من التعامل مع كسر واحد ضخم.
متى نستخدم الكسور الجزئية؟
نستخدمها عندما يكون لدينا كسر جبري مقامه قابل للتحليل، ودرجة البسط أصغر من درجة المقام. إذا كانت درجة البسط أكبر أو تساوي درجة المقام، نبدأ بالقسمة المطولة أولًا.
مثال محلول
حلل الكسر 5 ÷ ((x - 1)(x + 2)) إلى كسور جزئية.
نكتب: 5 ÷ ((x - 1)(x + 2)) = A ÷ (x - 1) + B ÷ (x + 2).
نضرب في المقام المشترك: 5 = A(x + 2) + B(x - 1).
عند x = 1: 5 = A(3)، إذن A = 5 ÷ 3. وعند x = -2: 5 = B(-3)، إذن B = -5 ÷ 3.
لماذا هذا مهم للتكامل؟
بدل تكامل كسر معقد، نحصل على مجموع كسور من الشكل A ÷ (x - a)، وتكاملها يرتبط باللوغاريتم الطبيعي.
أخطاء شائعة
- نسيان القسمة المطولة عندما تكون درجة البسط أكبر أو مساوية لدرجة المقام.
- وضع شكل خاطئ للتحليل عند وجود عامل مكرر أو عامل تربيعي.
- عدم التحقق بجمع الكسور مرة أخرى.