حل المعادلات الكسرية
المعادلة الكسرية هي معادلة يظهر فيها المتغير داخل مقام كسر، مثل: \(\frac{4}{x-1}+2=\frac{10}{x-1}\). هذا النوع من الأسئلة ليس صعبًا إذا بدأ الطالب من الخطوة الصحيحة: تحديد القيم التي تجعل المقام صفرًا قبل الحل.
الفكرة الأساسية
لا يجوز أن يكون مقام أي كسر مساويًا للصفر. لذلك نكتب أولًا القيم الممنوعة، ثم نحل المعادلة، ثم نتحقق من أن الحل لا يجعل المقام صفرًا. هذه الخطوة تمنع قبول إجابة تبدو صحيحة وهي غير مقبولة رياضيًا.
خطوات الحل
- حدد المقامات الموجودة في المعادلة.
- استبعد أي قيمة تجعل أحد المقامات صفرًا.
- اضرب طرفي المعادلة في المقام المشترك الأصغر للتخلص من الكسور، أو اجمع الحدود الكسرية إذا كان لها المقام نفسه.
- حل المعادلة الناتجة.
- عوّض الحل في المقامات للتأكد من أنه مقبول.
مثال محلول
حل المعادلة: \(\frac{4}{x-1}+2=\frac{10}{x-1}\).
القيمة الممنوعة هي x=1 لأن المقام x-1 يصبح صفرًا.
ننقل الكسر إلى طرف واحد: \(2=\frac{10}{x-1}-\frac{4}{x-1}\)، إذن \(2=\frac{6}{x-1}\).
نضرب تبادليًا: 2(x-1)=6، ومنه x-1=3، إذن x=4. الحل مقبول لأن \(4\neq1\).
خطأ شائع
أكثر خطأ يقع فيه الطالب هو حذف المقام أو الاختصار قبل تحديد القيم الممنوعة. في المعادلات الكسرية، المقام هو حارس الباب؛ تجاهله يفتح الباب لإجابة مزيفة.
تدريب سريع
حل: \(\frac{3}{x+2}=\frac{6}{x+2}-1\).
الحل المختصر: القيمة الممنوعة x=-2. ننقل: \(1=\frac{3}{x+2}\)، إذن x+2=3، فالنتيجة x=1.