الفجوات في التمثيل البياني للدوال الكسرية
الفجوة في التمثيل البياني للدالة الكسرية هي نقطة غير موجودة على الرسم، رغم أن منحنى الدالة قد يبدو وكأنه يمر قربها. تحدث الفجوة عادة عندما يوجد عامل مشترك في البسط والمقام ثم يتم اختصاره.
الفكرة الأساسية
إذا جعلت قيمة معينة البسط والمقام صفرًا في الوقت نفسه، فهذا غالبًا يدل على وجود عامل مشترك. عند اختصار هذا العامل لا تختفي المشكلة تمامًا؛ بل تتحول إلى فجوة عند قيمة x التي تجعل العامل المختصر صفرًا.
كيف نحدد الفجوة؟
- حلل البسط والمقام إلى عوامل.
- ابحث عن عامل مشترك بينهما.
- القيمة التي تجعل العامل المشترك صفرًا هي قيمة x الخاصة بالفجوة.
- إذا طُلب موقع الفجوة كاملًا، عوّض قيمة x في الدالة بعد الاختصار لإيجاد قيمة y.
مثال محلول
لدينا الدالة: \(f(x)=\frac{x^2+7x+12}{x+3}\).
نحلل البسط: x2+7x+12=(x+3)(x+4).
إذن: \(f(x)=\frac{(x+3)(x+4)}{x+3}\). العامل (x+3) مشترك، لذلك توجد فجوة عندما x+3=0، أي عند x=-3.
بعد الاختصار تصبح الدالة مثل y=x+4، لكن عند x=-3 تبقى النقطة غير موجودة. إذا أردنا قيمة y: y=-3+4=1، فتكون الفجوة عند (-3,1).
الفرق بين الفجوة وخط التقارب الرأسي
إذا أُلغي العامل المشترك بالاختصار، نتوقع فجوة. أما إذا بقي عامل في المقام بعد الاختصار، فإن القيمة التي تجعله صفرًا تعطي غالبًا خط تقارب رأسيًا. الخلط بينهما من أشهر أفخاخ الدوال الكسرية.
تدريب سريع
حدد قيمة x للفجوة في: \(f(x)=\frac{x^2-9}{x-3}\).
نحلل: x2-9=(x-3)(x+3). العامل المشترك (x-3)، إذن الفجوة عند x=3.