🚩 إبلاغ
جد المشتقة $f'(x)$ للدالة: $f(x) = \int_{0}^{x} (t^2 - 3t + 2) dt$
أ
$\frac{x^3}{3} - \frac{3x^2}{2} + 2x$
ب
2x - 3
ج
x2 - 3x + 2
د
x2 - 3x - 4
تفسير الإجابة
باستخدام الجزء الأول من النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل، فإن مشتقة التكامل المحدد من ثابت إلى x للدالة g(t) هي ببساطة g(x) .
🚩 إبلاغ
جد المشتقة $f'(x)$ للدالة: $f(x) = \int_{2}^{x} (t^2 - 3t - 4) dt$
أ
(x - 2)(x - 4)
ب
2x - 3
ج
x2 - 3x - 4
د
x2 - 3x + 2
تفسير الإجابة
المشتقة تساوي الدالة داخل التكامل بعد استبدال t بـ x .
🚩 إبلاغ
جد المشتقة $f'(x)$ للدالة: $f(x) = \int_{0}^{x^2} (e^{-t^2} + 1) dt$
أ
x2 (e-x4 + 1)
ب
2x(e-x2 + 1)
ج
e-x4 + 1
د
2x(e-x4 + 1)
تفسير الإجابة
باستخدام قاعدة السلسلة، نشتق التكامل عن طريق تعويض الحد العلوي x2 في الدالة ثم الضرب في مشتقة الحد العلوي 2x .
🚩 إبلاغ
جد المشتقة $f'(x)$ للدالة: $f(x) = \int_{x}^{2} \sec t dt$
أ
$-\sec x$
ب
$\tan x \sec x$
ج
$-\tan x \sec x$
د
$\sec x$
تفسير الإجابة
بما أن الحد المتغير في الأسفل، فإن المشتقة تساوي سالب قيمة الدالة عند ذلك الحد: $f'(x) = -\sec x$.
🚩 إبلاغ
إذا كانت الدالة التالية، أوجد $f'(x)$: $f(x) = \int_{3x}^{\sin x} (t^2 + 4) dt$
أ
cos x (sin2 x + 4) - 3(9x2 + 4)
ب
(sin2 x + 4) - (9x2 + 4)
ج
3(sin2 x + 4) - cos x (9x2 + 4)
د
cos x (sin2 x + 4) - 9x2 - 4
تفسير الإجابة
بتطبيق قاعدة السلسلة على حدي التكامل: تعويض الحد العلوي ومضروباً في مشتقته ناقص تعويض الحد السفلي ومضروباً في مشتقته.
🚩 إبلاغ
أوجد الدالة الأصلية العامة للتكامل: $\int \frac{e^x + 4}{e^x} dx$
أ
$\ln|e^x + 4| + c$
ب
$\ln|e^x| + c$
ج
x - 4e-x + c
د
x - 4e^x + c
تفسير الإجابة
نوزع البسط على المقام لتصبح $\int (1 + 4e^{-x}) dx$. تكامل 1 هو x وتكامل 4e-x هو -4e-x .
🚩 إبلاغ
أوجد مشتقة الدالة f(x) : $f(x) = \int_{3x}^{\sin x} (t^2 + 4) dt$
أ
(sin2 x + 4) cos x - 3(9x2 + 4)
ب
sin2 x - 9x2
ج
(sin2 x + 4) - (9x2 + 4)
د
(cos2 x + 4) sin x - 3(x2 + 4)
تفسير الإجابة
تعويض الحدود في القاعدة: $f'(x) = g(u(x))u'(x) - g(v(x))v'(x)$.
🚩 إبلاغ
جد معادلة المماس عند قيمة x المعطاة: $y = \int_{0}^{x} \sin \sqrt{t^2 + \pi^2} dt, \quad x = 0$
أ
y = 0
ب
y = -x
ج
y = x
د
$y = \pi x$
تفسير الإجابة
عند x=0 فإن y=0 . المشتقة $y' = \sin \sqrt{x^2 + \pi^2}$. عند x=0 الميل $m = \sin \pi = 0$. المعادلة y-0 = 0(x-0) تعطي y=0 .
🚩 إبلاغ
جد معادلة المماس عند قيمة x المعطاة: $y = \int_{-1}^{x} \ln(t^2 + 2t + 2) dt, \quad x = -1$
أ
y = x + 1
ب
y = 1
ج
y = x
د
y = 0
تفسير الإجابة
النقطة هي (-1, 0) . الميل $y'(-1) = \ln((-1)^2 + 2(-1) + 2) = \ln(1) = 0$. المعادلة هي y = 0 .
🚩 إبلاغ
جد معادلة المماس عند قيمة x المعطاة: $y = \int_{2}^{x} \cos(\pi t^3) dt, \quad x = 2$
أ
y = 2x - 4
ب
y = x - 2
ج
y = -x + 2
د
y = 0
تفسير الإجابة
عند x=2, y=0 . الميل $y'(2) = \cos(8\pi) = 1$. المعادلة هي $y - 0 = 1(x - 2) \Rightarrow y = x - 2$.
🚩 إبلاغ
جد معادلة المماس عند قيمة x المعطاة: $y = \int_{0}^{x} e^{-t^2 + 1} dt, \quad x = 0$
أ
y = x
ب
y = 0
ج
y = e-1 x
د
y = ex
تفسير الإجابة
عند x=0, y=0 . الميل $y'(0) = e^1 = e$. المعادلة هي y = ex .
🚩 إبلاغ
أوجد معادلة المماس للدالة عند القيمة المعطاة: $y = \int_{0}^{x} \sin \sqrt{t^2 + \pi^2} dt, \quad x = 0$
أ
y = 0
ب
y = x
ج
$y = \pi x$
د
y = -x
تفسير الإجابة
الميل عند x=0 هو $\sin \pi = 0$. وبما أن المنحنى يمر بالنقطة (0,0) فإن المعادلة هي y=0 .
🚩 إبلاغ
أوجد معادلة المماس للدالة عند x = 2 : $y = \int_{2}^{x} \cos(\pi t^3) dt$
أ
y = x - 2
ب
y = 2x - 4
ج
y = -x + 2
د
y = x + 2
تفسير الإجابة
الميل عند x=2 هو $\cos(8\pi) = 1$. يمر بالنقطة (2,0) فتكون المعادلة y = x - 2 .
🚩 إبلاغ
جد قيمة التكامل غير المحدود: $\int x^3 \sqrt{x^4 + 3} dx$
أ
$\frac{1}{6} (x^4 + 3)^{3/2} + C$
ب
$\frac{2}{3} (x^4 + 3)^{3/2} + C$
ج
$\frac{1}{4} (x^4 + 3)^{1/2} + C$
د
$\frac{1}{4} (x^4 + 3)^{3/2} + C$
تفسير الإجابة
باستخدام التعويض u = x4 + 3 يكون du = 4x3 dx . التكامل يصبح $\frac{1}{4} \int u^{1/2} du = \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} u^{3/2} = \frac{1}{6} u^{3/2}$.
🚩 إبلاغ
جد قيمة التكامل غير المحدود: $\int \sqrt{1 + 10x} dx$
أ
$\frac{1}{10} (1 + 10x)^{3/2} + C$
ب
$\frac{2}{3} (1 + 10x)^{3/2} + C$
ج
$\frac{1}{15} (1 + 10x)^{3/2} + C$
د
$\frac{2}{10} (1 + 10x)^{3/2} + C$
تفسير الإجابة
بالتعويض u = 1 + 10x, du = 10dx . التكامل هو $\frac{1}{10} \int u^{1/2} du = \frac{1}{10} \cdot \frac{2}{3} u^{3/2} = \frac{1}{15} u^{3/2}$.
🚩 إبلاغ
جد قيمة التكامل غير المحدود: $\int \frac{\sin x}{\sqrt{\cos x}} dx$
أ
$2\sqrt{\cos x} + C$
ب
-2(cos x)-1/2 + C
ج
$-2\sqrt{\cos x} + C$
د
$-\frac{1}{2}\sqrt{\cos x} + C$
تفسير الإجابة
نفرض أن u = cos x فيكون du = -sin x dx . التكامل يصبح $-\int u^{-1/2} du = -2u^{1/2} = -2\sqrt{\cos x}$.
🚩 إبلاغ
جد قيمة التكامل غير المحدود: $\int \sin^3 x \cos x dx$
أ
$\frac{1}{3} \sin^3 x + C$
ب
$\frac{1}{4} \sin^4 x + C$
ج
$-\frac{1}{4} \cos^4 x + C$
د
sin4 x + C
تفسير الإجابة
بالتعويض u = sin x, du = cos x dx . التكامل هو $\int u^3 du = \frac{1}{4} u^4$.
🚩 إبلاغ
جد قيمة التكامل غير المحدود: $\int t^2 \cos(t^3) dt$
أ
$\frac{1}{3} \cos(t^3) + C$
ب
3 sin(t3 ) + C
ج
$-\frac{1}{3} \sin(t^3) + C$
د
$\frac{1}{3} \sin(t^3) + C$
تفسير الإجابة
بالتعويض u = t3 , du = 3t2 dt . التكامل هو $\frac{1}{3} \int \cos u du = \frac{1}{3} \sin u$.
🚩 إبلاغ
جد قيمة التكامل غير المحدود: $\int \sin t (\cos t + 3)^{3/4} dt$
أ
$\frac{4}{7} (\cos t + 3)^{7/4} + C$
ب
$-\frac{4}{7} (\cos t + 3)^{7/4} + C$
ج
(cos t + 3)7/4 + C
د
$-\frac{7}{4} (\cos t + 3)^{3/4} + C$
تفسير الإجابة
بالتعويض u = cos t + 3 يكون du = -sin t dt . التكامل $-\int u^{3/4} du = -\frac{4}{7} u^{7/4}$.
🚩 إبلاغ
جد قيمة التكامل غير المحدود: $\int x e^{x^2 + 1} dx$
أ
2 ex2 + 1 + C
ب
x ex2 + 1 + C
ج
$\frac{1}{2} e^{x^2 + 1} + C$
د
$\frac{1}{2} e^{x^2} + C$
تفسير الإجابة
نستخدم التعويض u = x2 + 1 ومنه du = 2x dx . فتصبح $\frac{1}{2} \int e^u du = \frac{1}{2} e^u$.
🚩 إبلاغ
جد قيمة التكامل غير المحدود: $\int e^x \sqrt{e^x + 4} dx$
أ
$\frac{2}{3} (e^x + 4)^{3/2} + C$
ب
$\frac{3}{2} (e^x + 4)^{3/2} + C$
ج
2 (e^x + 4)3/2 + C
د
$\frac{1}{2} (e^x + 4)^{1/2} + C$
تفسير الإجابة
بالتعويض u = e^x + 4 يكون du = e^x dx . التكامل $\int u^{1/2} du = \frac{2}{3} u^{3/2}$.
🚩 إبلاغ
جد قيمة التكامل غير المحدود: $\int \frac{e^{1/x}}{x^2} dx$
أ
e1/x + C
ب
-e1/x + C
ج
$-\frac{1}{x} e^{1/x} + C$
د
e1/x + C
تفسير الإجابة
بالتعويض u = 1/x, du = -1/x2 dx . التكامل يصبح $-\int e^u du = -e^u$.
🚩 إبلاغ
جد قيمة التكامل غير المحدود: $\int \frac{\cos(1/x)}{x^2} dx$
أ
-sin(1/x) + C
ب
sin(1/x) + C
ج
-cos(1/x) + C
د
$\frac{\sin(1/x)}{x} + C$
تفسير الإجابة
نفرض u = 1/x, du = -1/x2 dx . التكامل $-\int \cos u du = -\sin u$.
🚩 إبلاغ
أوجد الدالة الأصلية العامة: $\int \frac{2x}{x^2 + 4} dx$
أ
2x2 (x2 + 4)
ب
$\ln |x^2 + 2x| + C$
ج
(x2 + 4)2 + C
د
$\ln |x^2 + 4| + C$
تفسير الإجابة
البسط هو مشتقة المقام، لذا فإن ناتج التكامل هو لوغاريتم القيمة المطلقة للمقام.
🚩 إبلاغ
أوجد قيمة التكامل غير المحدود: $\int \tan(2x) dx$
أ
$-\cot 2x$
ب
$\frac{\sin 2x}{\cos 2x} + C$
ج
$-\frac{1}{2} \ln |\sin 2x| + C$
د
$-\frac{1}{2} \ln |\cos 2x| + C$
تفسير الإجابة
نعبر عن الظل كـ $\frac{\sin 2x}{\cos 2x}$. مشتقة المقام هي -2sin 2x . لذا نضرب في -1/2 ونأخذ اللوغاريتم.
🚩 إبلاغ
أوجد قيمة التكامل: $\int x^3 \sqrt{x^4 + 3} dx$
أ
$\frac{1}{4} (x^4 + 3)^{3/2} + C$
ب
$\frac{1}{2} x^4 (x^4 + 3)^{3/2} + C$
ج
$\frac{1}{3} (x^4 + 3)^{1/2} + C$
د
$\frac{1}{6} (x^4 + 3)^{3/2} + C$
تفسير الإجابة
نستخدم u = x4 + 3 . ينتج بعد التكامل $\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} u^{3/2}$.
🚩 إبلاغ
أوجد قيمة التكامل: $\int \frac{4}{5 + 2x + x^2} dx$
أ
$2 \tan^{-1} (\frac{x+1}{2}) + C$
ب
2 tan-1 (x + 1) + C
ج
$\tan^{-1} (\frac{x+1}{4}) + C$
د
$2 \sin^{-1} (\frac{x+1}{2}) + C$
تفسير الإجابة
بإكمال المربع في المقام نحصل على (x+1)2 + 4 . نستخدم قاعدة الدالة العكسية للظل.
🚩 إبلاغ
أوجد قيمة التكامل: $\int x \sqrt{x^2 + 8} dx$
أ
$\frac{1}{3} (x^2 + 8)^{3/2} + C$
ب
$\sqrt{(x^2 + 8)^3} + C$
ج
$\frac{1}{2} \sqrt{x^2 + 8} + C$
د
$3\sqrt{(x^2 + 8)^3} + C$
تفسير الإجابة
بالتعويض u = x2 + 8 , التكامل يصبح $\frac{1}{2} \int u^{1/2} du = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{3/2} = \frac{1}{3} u^{3/2}$.
🚩 إبلاغ
أوجد قيمة التكامل: $\int \frac{x^3}{1 + x^8} dx$
أ
tan-1 x4 + C
ب
tan-1 x2 + C
ج
4 tan-1 x2 + C
د
$\frac{1}{4} \tan^{-1} x^4 + C$
تفسير الإجابة
نفرض u = x4 , فيكون du = 4x3 dx . التكامل يصبح $\frac{1}{4} \int \frac{1}{1 + u^2} du = \frac{1}{4} \tan^{-1} u$.
🚩 إبلاغ
أوجد قيمة التكامل: $\int \frac{x}{\sqrt{x^2 - 4}} dx$
أ
$\sqrt{x^2 + 4} + C$
ب
$\sqrt{x^2 - 4} + C$
ج
$2 \sec x + C$
د
$\sqrt{x^2 - 4} + C$
تفسير الإجابة
بالتعويض u = x2 - 4, du = 2x dx . ناتج التكامل $\frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{u} = \sqrt{u}$.
🚩 إبلاغ
أوجد قيمة التكامل غير المحدود: $\int 4x e^{-x^2} dx$
أ
$2x^2 e^{-\frac{x^3}{3}} + C$
ب
$-2e^{-\frac{x^3}{3}} + C$
ج
2x2 e-x2 + C
د
-2e-x2 + C
تفسير الإجابة
مشتقة الأس هي -2x . بكتابة 4x = -2(-2x) ، يصبح التكامل من الشكل k × e^u du وناتجه -2e-x2 .
🚩 إبلاغ
أوجد قيمة التكامل: $\int \frac{2}{\sqrt{x} + x} dx$
أ
$4 \ln|1 + \sqrt{x}| + C$
ب
$2 \ln |1 + \sqrt{x}| + C$
ج
$4 \ln |\sqrt{x}| + C$
د
$\ln |1 + x| + C$
تفسير الإجابة
بأخذ $\sqrt{x}$ عاملاً مشتركاً في المقام، ثم التعويض $u = 1 + \sqrt{x}$.
🚩 إبلاغ
أوجد قيمة التكامل: $\int \frac{\sin \sqrt{x}}{\sqrt{x}} dx$
أ
$-2 \sin \sqrt{x} + C$
ب
$-2 \cos \sqrt{x} + C$
ج
$2 \cos \sqrt{x} + C$
د
$2 \sin \sqrt{x} + C$
تفسير الإجابة
بالتعويض $u = \sqrt{x}, du = \frac{1}{2\sqrt{x}} dx$. التكامل يصبح $2 \int \sin u du = -2 \cos u$.
🚩 إبلاغ
أوجد قيمة التكامل: $\int \frac{1}{\sqrt{3 - 2x - x^2}} dx$
أ
$\sin^{-1} (\frac{x+1}{2}) + C$
ب
$\frac{1}{2} \tan^{-1} (\frac{x+1}{2}) + C$
ج
$\frac{1}{2} \sin^{-1} (\frac{x+1}{2}) + C$
د
$\tan^{-1} (\frac{x+1}{2}) + C$
تفسير الإجابة
بإكمال المربع تحت الجذر: 3 - 2x - x2 = 4 - (x+1)2 . هذا يطابق قاعدة مشتقة الجيب العكسي.
🚩 إبلاغ
أوجد قيمة m حيث $m \neq 0$ إذا كان ما يلي صحيحاً: $\int \frac{x^3}{1 + x^m} dx = \frac{1}{4} \tan^{-1} x^4 + C$
أ
m = 4
ب
m = 2
ج
m = 8
د
m = 6
تفسير الإجابة
بالنظر لناتج التكامل $\frac{1}{4} \tan^{-1} x^4$، يتبين أن u = x4 . قاعدة الظل العكسي تتضمن u2 في المقام، أي (x4 )2 = x8 . إذاً m=8 .
