كويز تفاعلي: اختبار في أساسيات حساب المثلثات والمتطابقات والمعادلات المثلثية

تكون قيمة ظل الزاوية وجيبها سالبة في الربع الرابع، والزاوية $310^\circ$ تقع في الربع الرابع.

فترة الدالة $\cot \theta$ هي $\pi$ راديان أو $180^\circ$.

باستخدام المتطابقة الأساسية $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ وفي الربع الأول تكون قيمة الجيب موجبة، نحصل على $\sin \theta = \frac{\sqrt{7}}{4}$.

يمكن تبسيط التعبير باستخدام $\cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}$ والمتطابقة $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ كالتالي: $\sin \theta + \cos \theta (\frac{\cos \theta}{\sin \theta}) = \frac{\sin^2 \theta + \cos^2 \theta}{\sin \theta} = \frac{1}{\sin \theta} = \csc \theta$.

باستخدام متطابقة الزاوية المزدوجة $\tan(2x) = \frac{2 \tan x}{1 - \tan^2 x}$. بفرض $x = \frac{\pi}{8}$، فإن $\tan \frac{\pi}{4} = 1$. بالتعويض في المعادلة $1 = \frac{2t}{1-t^2}$ وحل المعادلة التربيعية t² + 2t - 1 = 0، نحصل على $t = -1 \pm \sqrt{2}$. وبما أن $\frac{\pi}{8}$ في الربع الأول، تكون قيمة الظل موجبة، إذن $t = \sqrt{2}-1$.

باستخدام المتطابقة الأساسية $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$، فإن $1 - \sin^2 \theta = \cos^2 \theta$. وبذلك يصبح التعبير $\frac{\cos \theta}{\cos^2 \theta} = \frac{1}{\cos \theta} = \sec \theta$.

دالة جيب التمام (cosine) هي دالة زوجية، أي أن $\cos(-\theta) = \cos(\theta)$.

باستخدام متطابقات الزاوية المتممة، فإن $\cos(\frac{\pi}{2}-\theta) = \sin(\theta)$.

يمكن تبسيط التعبير باستخدام $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ و $\csc \theta = \frac{1}{\sin \theta}$ كالتالي: $\tan \theta \csc \theta = (\frac{\sin \theta}{\cos \theta}) (\frac{1}{\sin \theta}) = \frac{1}{\cos \theta} = \sec \theta$.

بتوزيع $\cot \theta$ على القوس، نحصل على $\cot^2 \theta + \cot \theta \tan \theta$. وبما أن $\cot \theta \tan \theta = 1$، يصبح التعبير $\cot^2 \theta + 1$. وباستخدام المتطابقة فيثاغورسية، $1 + \cot^2 \theta = \csc^2 \theta$.

باستخدام متطابقة مجموع زاويتين لدالة الجيب: sin(A+B) = sin A cos B + cos A sin B. بالتعويض بـ $A=\theta$ و $B=\frac{\pi}{2}$، نعلم أن $\cos \frac{\pi}{2} = 0$ و $\sin \frac{\pi}{2} = 1$. إذن $\sin(\theta + \frac{\pi}{2}) = \sin \theta (0) + \cos \theta (1) = \cos \theta$.

باستخدام متطابقة فرق زاويتين لدالة الظل: $\tan(A-B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B}$. بالتعويض بـ $A=\theta$ و $B=\frac{\pi}{3}$، نعلم أن $\tan \frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$. إذن $\tan(\theta - \frac{\pi}{3}) = \frac{\tan \theta - \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3} \tan \theta}$.

بما أن $90^\circ < \theta < 180^\circ$، فإن $\theta$ في الربع الثاني، حيث يكون $\sin \theta$ موجبًا و $\cos \theta$ سالبًا. من $\sin \theta = \frac{4}{5}$، نجد أن $\cos \theta = -\frac{3}{5}$ باستخدام المتطابقة $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$. ثم نستخدم متطابقة ضعف الزاوية: $\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta = 2 (\frac{4}{5}) (-\frac{3}{5}) = -\frac{24}{25}$.

بما أن $\cos \theta = \frac{3}{5}$ ومجال $\theta$ هو $0 < \theta < \frac{3\pi}{2}$، فإن $\theta$ تقع في الربع الأول. إذن $0 < \frac{\theta}{2} < \frac{\pi}{4}$، مما يعني أن $\frac{\theta}{2}$ تقع في الربع الأول حيث $\cos \frac{\theta}{2}$ موجب. باستخدام متطابقة نصف الزاوية $\cos \frac{\theta}{2} = \sqrt{\frac{1 + \cos \theta}{2}}$، نحصل على $\cos \frac{\theta}{2} = \sqrt{\frac{1 + \frac{3}{5}}{2}} = \sqrt{\frac{8/5}{2}} = \sqrt{\frac{4}{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$.

يمكن تحليل المعادلة إلى $\sin \theta (\sin \theta - 1) = 0$. هذا يعطي حلين: إما $\sin \theta = 0$ أو $\sin \theta = 1$. في النطاق $0^\circ \leq \theta \leq 360^\circ$:
إذا كان $\sin \theta = 0$، فإن $\theta = 0^\circ, 180^\circ, 360^\circ$.
إذا كان $\sin \theta = 1$، فإن $\theta = 90^\circ$.
بجمع الحلين، تكون القيم هي $0^\circ, 90^\circ, 180^\circ, 360^\circ$.

يمكن تحليل المعادلة التربيعية بفرض $x = \cos \theta$ إلى (x+1)(x+2) = 0. هذا يعطي حلين: $\cos \theta = -1$ أو $\cos \theta = -2$. بما أن مدى دالة جيب التمام هو [-1, 1]، فإن الحل $\cos \theta = -2$ غير ممكن. إذن، الحل الوحيد هو $\cos \theta = -1$. الحل العام لهذه المعادلة هو $\theta = \pi + 2n\pi$ حيث n عدد صحيح.